G是三角形ABC的重心.过G作直线交于AB,AC与E,F.求证GE小于等于2GF

延长BG交AC于D、延长CG交AB于H,依次过B、H、C、D作直线EF的垂线,垂足依次是M、N、J、K.
∵BM⊥EF、DK⊥EF,∴BM∥DK,∴△BGM∽△DGK,∴BM/DK＝BG/DG＝2,
∴BM＝2DK.······①
∵CJ⊥EF、HN⊥EF,∴CJ∥HN,∴△CGJ∽△HGN,∴CJ/HN＝CG/HG＝2,
∴HN＝CJ/2.······②
①＋②,得：BM＋HN＝2DK＋CJ/2.······③
∵S(△BGH)＝（1/2）BG×HGsin∠BGH＝DG×HGsin∠BGH＝DG×HGsin∠CGD、
　S(△CGD)＝（1/2）CG×DGsin∠CGD＝HG×DGsin∠CGD,
∴S(△BGH)＝S(△CGD),
又S(△BGH)＝S(△HEG)＋S(△BEG)＝（1/2）GE×HN＋（1/2）GE×BM,
　S(△CGD)＝S(△DFG)＋S(△CFG)＝（1/2）GF×DK＋（1/2）GF×CJ,
∴（1/2）GE×HN＋（1/2）GE×BM＝（1/2）GF×DK＋（1/2）GF×CJ,
∴GE（BM＋HN）＝GF（DK＋CJ）.······④
由③、④,得：GE（2DK＋CJ/2）＝GF（DK＋CJ）＝2GF（DK/2＋CJ/2）,
∴GE（DK/2＋CJ/2）＋GE×［（3/2）DK］＝2GF（DK/2＋CJ/2）.
显然有：DK≧0,
∴GE（DK/2＋CJ/2）≦GE（DK/2＋CJ/2）＋GE×［（3/2）DK］＝2GF（DK/2＋CJ/2）,
而DK/2＋CJ/2＞0,∴GE≦2GF.