若圆柱的母线与底面直径和为3,则该圆柱的侧面积的最大值为_.

问题描述:

若圆柱的母线与底面直径和为3,则该圆柱的侧面积的最大值为______.

设圆柱的底面半径为r,高为h,则依题意有2r+h=3,且0<r<

3
2

故其侧面积S=2πrh=2πr(3-2r)=4πr(
3
2
-r)≤4π×(
r+
3
2
−r
2
)2
=
9
4
π

当且仅当r=
3
4
时,取等号.
所以圆柱的侧面积的最大值等于
9
4
π

故答案为:
9
4
π