设A为n阶方阵,r(A)=r1,r(A+E)=r2,r(A+2E)=r3,且r1+r2+r3=2n.证明A可对角化.
问题描述：
设A为n阶方阵,r(A)=r1,r(A+E)=r2,r(A+2E)=r3,且r1+r2+r3=2n.证明A可对角化.
答
证明: Ax=0, (A+E)x=0, (A+2E)x=0
三个齐次线性方程组的基础解系共含
(n-r1)+(n-r2)+(n-r3) = 3n-(r1+r2+r3) = n 个向量.
所以A有n个线性无关的特征向量
所以 A 可对角化.
注: 若 r1