己知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1、m)恰好在此抛物线的对称轴上,圆M的半径为根5,设圆M与y轴交于D,抛物线的顶点为E
问题描述:
己知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1、m)恰好在此抛物线的对称轴上,圆M的半径为根5,设圆M与y轴交于D,抛物线的顶点为E
(1)求m的值及抛物线的解析式
(2)设角DBC=a,角CBE=b,求sin(a-b)的值
(3)探究坐标轴上是否存在点p,使得以P、A、C为顶点的三角形与三角形BCE相似?若存在,请指出点P的位置,并写出点P的坐标,若不存在,请说明理由
答
(1)由抛物线表达式得到C点坐标(0,-3),与(1,m)距离根号5,解得m=-1或-5.因为ABC在圆上,所以m>-3,得到m=-1.设AB坐标为(x,0),由半径根号5,圆心(1,-1)得到AB分别是(-1,0),(3,0).代入抛物线表达式,得到y=x^2-2x-3.
(2)D=(0,1),E=(1,-4).由点确定直线,用公式算直线交角.另一个简单点的办法是算出这5条边长,然后用余弦定理得到正弦余弦值,用三角公式算sin(a-b).
(3)若存在,那么AC和x轴或y轴的夹角必为BCE的一个内角值.可以发现有3个这样的点,原点就是之一.