高等代数线性空间与线性变换
问题描述：
高等代数线性空间与线性变换
若W1,W2是n维线性空间V的两个线性子空间,dim(W1+W2)-1=dim(W1∩W2),证明W1+W2与其中的一个子空间相等,W1∩W2与另一个子空间相等.
答
利用dim(W1+W2)>=max{dim(W1), dim(W2)} >=min{dim(W1), dim(W2)} >=dim(W1∩W2)=dim(W1+W2)-1 dim(W1)+dim(W2)=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2)=2dim(W1∩W2)=,dim(W1+W2)-1=dim(W1∩W2), ===》 ...
max{dim(W1), dim(W2)} >=min{dim(W1), dim(W2)}
dim(W1+W2)>dim(W1∩W2)=dim(W1+W2)-1
2dim(W1∩W2)+2=2dim(W1+W2)>=dim(W1)+dim(W2)=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2)=2dim(W1∩W2)+1
===》dim(W1+W2)=max{dim(W1), dim(W2)}
min{dim(W1), dim(W2)}=dim(W1∩W2)=dim(W1+W2)-1
然后根据与一个有限维线性空间V的维数相等的子空间是线性空间本身
证明