如图所示,⊙I是Rt△ABC(∠C=90°)的内切圆,⊙I和三边分别切于点D,E,F. (1)求证:四边形IDCE是正方形; (2)设BC=a,AC=b,AB=C,求内切圆I的半径.

问题描述:

如图所示,⊙I是Rt△ABC(∠C=90°)的内切圆,⊙I和三边分别切于点D,E,F.

(1)求证:四边形IDCE是正方形;
(2)设BC=a,AC=b,AB=C,求内切圆I的半径.

证明:(1)∵BC,AC与⊙I相切于D,E,
∴∠IDC=∠IEC=∠C=90°,
∴四边形IDCE为矩形,
又∵IE=ID,
∴矩形IDCE是正方形.
(2)由(1)得CD=CE=r,
∴a+b=BD+AE+2r=BF+AF+2r=c+2r,
∴r=

1
2
(a+b-c).