在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5． （Ⅰ）探究新知 如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G． （1）求证：内切圆的半径r1=1； （2）求tan∠OAG的值； （Ⅱ）结论应用 （1
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．
（Ⅰ）探究新知
如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
（1）求证：内切圆的半径r1=1；
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）结论应用
（1）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；
（2）如图③，若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值．
（Ⅰ）（1）证明：在图①中，连接OE，OF，OA．
∵⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
∴OF⊥BC，OE⊥AC，∠ACB=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
又∵EO=OF，
∴四边形CEOF是正方形，
CE=CF=r1．
又∵AG=AE=3-r1，BG=BF=4-r1，
AG+BG=5，
∴（3-r1）+（4-r1）=5．
即r1=1．
（2）连接OG，在Rt△AOG中，
∵r1=1，AG=3-r1=2，
tan∠OAG=
=OG AG
； 1 2
（Ⅱ）（1）连接O1A、O2B，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E，AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC．
由tan∠OAG=
，知tan∠O1AD=1 2
，1 2
同理可得：tan∠O2BE=
=
O2E BE
，1 3
∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2．
∵AD+DE+BE=5，
r2=
；5 7
（2）如图③，连接O1A、OnB，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnM⊥AB交于点M．
则AO1、BOn分别平分∠CAB、∠ABC．
tan∠O1AD=
，tan∠OnBM=1 2
，1 3
AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，
又∵AD+DE+…+MB=5，
2rn+2rn+…+3rn=5，
（2n+3）rn=5，
rn=
．5 2n+3