A、B均为n阶方阵,求证:r(AB)=r(B)的充要条件是齐次线性方程组ABx=0与Bx=0同解.
问题描述:
A、B均为n阶方阵,求证:r(AB)=r(B)的充要条件是齐次线性方程组ABx=0与Bx=0同解.
答
证明 先证充分性,方程组同解,则基础解系个数相同,即n-ra=n-rb,可知ra=rb
必要性 若rab=rb,则A为可逆矩阵,由ABX=0可得A^-1ABX=0,即ABX=0的解也是BX=0的解,BX=0的解显然是前者的解.