已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=(三分之根号二）a,（1）求证：MN//面BB1C1C(2)求MN的长

1. 这个题目比较简便的方法是坐标法，建立一个三维欧氏坐标系，即可解决。
2. 在AB上找一点O使得，AO=(1/3)a，由AN=(1/3)AC，A'M==(1/3)A'B可知，OM//AA'，AA'//BB'
故OM//BB'；同理ON//BC；
故平面OMN//平面BB1C1C
由平行线分线段成比例定理可知，OM=（2/3）a，ON=(1/3)a，
由勾股定理可知，MN=(三分之根号五）a。

在棱AB上取一点P,使AP=2AB/3,连结PN、PM,
∵棱长AB=BC=AA1=a,
∴AC=√2a,A1B=√2a,
∵A1M=AN=√2a/3,
∴A1M=2A1B/3,AN=2AC/3,
∵AP/AB=AN/AC=2/3,
∴PN//BC,（三角形平行比例线段定理逆定理）,
同理,PM//AA1,
∵AA1//BB1,
∴PM//BB1,
∵PN∩PM=P,
BC∩BB1=B,
∴平面PMN//平面BB1C1C,
∵MN∈平面PMN,
∴MN//平面BB1C1C.
2、∵PN//BC,
∴PN/BC=AN/AC=2/3,
∴PN=2BC/3=2a/3,
同理,PM=2AA1/2=2a/3,
∵AA1⊥平面ABCD,PM//AA1,
∴AA1⊥平面ABCD,
∵PN∈平面ABCD,
∴PM⊥PN,即∵PM=PN=2a/3,
∴△MPN是等腰RT△,
∴MN=√2PM=2√2a/3.