集合列中的上极限集和下极限集应该怎么理解?

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• 关于戴德金分割的一点疑问戴德金在定义无理数时.提出了3类集合.一类是小于2的有理数为上集.大于等于2的有理数为下集（其他两类略）.并且指出小于2的有理数集是没有上确界的.但是根据极限定义.小于2的有理数与2无限接近其差小于任何正数,那他们最终必然相等.即下集将和上集重合.但若重合那与我们的定义又矛盾了.叙述中有点错误。不过大家应该能够理解。二楼的，无限接近最终不是能够相等吗？希拉里追乌龟不就是这个样子吗？二者之间的距离无限缩小最终相等。再如 0.999...=1.0000这不也是个很好的证明吗？什么近似相等，大哥你对极限的理解我不赞同啊。你在哪里？
• 关于映射和多值函数的迷惑1.映射定义：设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射.2.函数定义 设数集D是实数集R的子集,则称映射f：D→R为定义在D上的函数.3.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个x属于D,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.1,2,3的内容都出自高数课本,1中说映射的对应像是唯一的,2中说函数是映射的一种,但3又说函数（映射的一种）的对应像可以是不唯一的多值函数!这听起来不是自相矛盾吗?这种小问题足以把我这种数学基础差的人搞晕啊!跳过疑惑又很不甘心!到底是我断章取义了呢?还是理解有误?还是3是1的特例?还是作者没说清楚?反正这个问题我一定要搞懂,把牛角尖钻破了就不用钻了!每个初学者都要经过这么一个牛角尖的过程呢!求高手深入浅出的解答.
• 为什么有界数集有无数个上界和下界?“考虑一个实数集合M.如果有一个实数S,使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界.”S是不是就可以理解为M中的最大值?上界中有为什么会有一个最小的上界,称为上确界呢?上确界才是最大值咯？为什么“一般S比M中的最大值还要大”啊？怎么可能都叫最大值了还有比它更大的呢？
• 课本概念：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集.即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.我对于概念中的“或”无法理解.并集应该就是相加,那为什么不是“属于集合A和属于集合B的元素”?这样才讲的通啊.例如：A={1 ,3 } ,B={2,4} ,按照原概念A∪B={1,3}或者A∪B={2,4},这显然不对.在A∪B={x|x∈A,或x∈B}中,因为x是指某个元素,所以用“或”是毋庸置疑；但是文字概念和公式有根本区别,概念中是“所有”.我纠结了o(╯□╰)o……请求指点……
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