△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求C.

问题描述:

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求C.

由B=π-(A+C)可得cosB=-cos(A+C)
∴cos(A-C)+cosB=cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC=1
∴sinAsinC=

1
2

由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC②
①②联立可得,sin2C=
1
4

∵0<C<π
∴sinC=
1
2

a=2c即a>c
C=
π
6

答案解析:由cos(A-C)+cosB=cos(A-C)-cos(A+C)=1,可得sinAsinC=
1
2
,由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC,联立可求C
考试点:正弦定理;三角函数中的恒等变换应用.
知识点:本题主要考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用,属于基础试题