已知函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.

问题描述:

已知函数y=ax与y=-

b
x
在区间(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.

∵函数y=ax与y=-

b
x
在区间(0,+∞)上都是减函数,
∴a<0,b<0.
由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx.
令y′>0,即3ax2+2bx>0,∴-
2b
3a
<x<0.
因此当x∈(-
2b
3a
,0)时,函数为增函数;      
令y′<0,即3ax2+2bx<0,∴x<-
2b
3a
或x>0.
因此当x∈(-∞,-
2b
3a
)和(0,+∞)时,函数为减函数;
∴函数y=ax3+bx2+5的单调增区间为(-
2b
3a
,0);单调减区间为(-∞,-
2b
3a
)和(0,+∞).
答案解析:由函数y=ax与y=-
b
x
在区间(0,+∞)上都是减函数,得a<0,b<0.求导,然后解不等式y′>0,y′<0即可得到函数的单调区间.
考试点:利用导数研究函数的单调性;函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质.
知识点:该题函数的单调性及利用导数研究函数的性质,属基础题.