已知函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.
问题描述:
已知函数y=ax与y=-
在区间(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间. b x
答
∵函数y=ax与y=-
在区间(0,+∞)上都是减函数,b x
∴a<0,b<0.
由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx.
令y′>0,即3ax2+2bx>0,∴-
<x<0.2b 3a
因此当x∈(-
,0)时,函数为增函数; 2b 3a
令y′<0,即3ax2+2bx<0,∴x<-
或x>0.2b 3a
因此当x∈(-∞,-
)和(0,+∞)时,函数为减函数;2b 3a
∴函数y=ax3+bx2+5的单调增区间为(-
,0);单调减区间为(-∞,-2b 3a
)和(0,+∞).2b 3a
答案解析:由函数y=ax与y=-
在区间(0,+∞)上都是减函数,得a<0,b<0.求导,然后解不等式y′>0,y′<0即可得到函数的单调区间.b x
考试点:利用导数研究函数的单调性;函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质.
知识点:该题函数的单调性及利用导数研究函数的性质,属基础题.