计算二重积分∫∫D(x+y)dxdy，其中D={（x，y）|x2+y2≤x+y+1}．
问题描述：
计算二重积分
(x+y)dxdy，其中D={（x，y）|x2+y2≤x+y+1}． ∫∫ D
答
知识点：本题考查了二重积分的计算，关键的步骤是做变量代换X＝x−
，Y＝y−
，并能注意到
XdXdY=0，
YdXdY=0．
做变量代换X＝x−
，Y＝y−1 2
，1 2
则D={（x，y）|x2+y2≤x+y+1}={（X，Y）|X2+Y2≤
}，3 2
所以：
I=
(x+y)dxdy=∬ D
(X+Y+1)dXdY=∬ D
XdXdY+∬ D
YdXdY+∬ D
dXdY．∬ D
因为D在（X，Y）坐标系下是一个圆，且X，Y分别是关于X，Y的奇函数，
所以有：
XdXdY=0，∬ D
YdXdY=0，∬ D
又：易知
dXdY=SD=∬ D
π，3 2
所以：I=
π．3 2
答案解析：注意到D={（x，y）|x2+y2≤x+y+1}={（x，y）|(x−
)2+(y−1 2
)2≤1 2
}，做变量代换X＝x−3 2
，Y＝y−1 2
．1 2
考试点：二重积分的计算．
知识点：本题考查了二重积分的计算，关键的步骤是做变量代换X＝x−
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ∬ |
| D |
| ∬ |
| D |