已知等差数列an的各项不为零,求证1/a1a2+1/a2a3+...+1/an-1an=n-1/a1an
问题描述：
已知等差数列an的各项不为零,求证1/a1a2+1/a2a3+...+1/an-1an=n-1/a1an
答
1/a[n-1]a[n]=1/d*(1/a[n-1]-1/a[n])[ ]代表下标
1/a1a2=1/d*(1/a1-1/a2)
1/a2a3=1/d*(1/a2-a/a3)
..........
1/a[n-1]a[n]=1/d*(1/a[n-1]-1/a[n])
1/a1a2+1/a2a3+...+1/an-1an=1/d*(1/a1-1/an)=1/d*(an-a1)/a1an=1/d*(n-1)d/a1an=(n-1)/a1an
答
裂项相消。
答
注意到
1/an - 1/an+1=d/（an×an+1）；那么1/（an×an+1）=1/d（1/an - 1/an+1）
原式=1/d（1/a1-1/a2+1/a2-.-1/an)
=1/d(1/a1-1/an)=(an-a1)d/a1an
考虑an=a1+(n-1)d
因此原式=（n-1）/a1an