若正三棱锥底面边长为4,体积为1,则侧面与底面所成二面角的正切值为___.

问题描述:

若正三棱锥底面边长为4,体积为1,则侧面与底面所成二面角的正切值为___

取BC的中点D,连接SD、AD,则SD⊥BC,AD⊥BC.
∴∠SDA为侧面与底面所成二面角的平面角,设为α.
在平面SAD中,作SO⊥AD与AD交于O,则SO为棱锥的高.
AO=2DO,∴OD=

2
3
3

又VS-ABC=
1
3
×
1
2
•AB•BC•sin60°•h=1,
∴h=
3
4

∴tanα=
SO
DO
=
3
4
2
3
3
=
3
8

故答案为:
3
8

答案解析:取BC的中点D,连接SD、AD,则SD⊥BC,AD⊥BC,所以∠SDA为侧面与底面所成二面角的平面角.在平面SAD中,作SO⊥AD与AD交于O,则SO为棱锥的高,大小可由体积求得.
考试点:二面角的平面角及求法
知识点:本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.