在数列{an}中，a1=1，并且对于任意n∈N*，都有．an+1=an2an+1（1）证明数列{1an}为等差数列，并求{an}的通项公式；（2）求数列{anan+1}的前n项和Tn．
问题描述：
在数列{an}中，a1=1，并且对于任意n∈N*，都有．an+1=
an 2an+1
（1）证明数列{
}为等差数列，并求{an}的通项公式；1 an
（2）求数列{anan+1}的前n项和Tn．
答
（1）证明：∵在数列{an}中，a1=1，
并且对于任意n∈N*，都有．an+1=
，an 2an+1
∴
＝1，1 a1
=1 an+1
=2an+1 an
+2，1 an
∴{
}是首项为1，公差为2的等差数列，1 an
∴
=1+（n-1）•2=2n-1，1 an
∴an=
．1 2n−1
（2）∵anan+1=
•1 2n−1
=1 2n+1
（1 2
−1 2n−1
），1 2n+1
∴Tn=
（1-1 2
+1 3
−1 3
+…+1 5
−1 2n−1
）1 2n+1
=
．n 2n+1
答案解析：（1）由已知条件得
＝1，1 a1
=1 an+1
=2an+1 an
+2，由此能证明{1 an
}是首项为1，公差为2的等差数列，从而得到an=1 an
．1 2n−1
（2）由anan+1=
•1 2n−1
=1 2n+1
（1 2
−1 2n−1
），利用裂项求和法能求出数列{anan+1}的前n项和Tn．1 2n+1
考试点：数列的求和；数列递推式．
知识点：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．