如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，CA是⊙O的切线，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．（1）求证：CE=CF；（2）若sinB=35，求DF：CF的值．
问题描述：
如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，CA是⊙O的切线，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）若sinB=
，求DF：CF的值． 3 5
答
（1）证明：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠AFD+∠DAF=90°．
∵CA是⊙O的切线，
∴∠ACB=90°，
∴∠AEC+∠EAC=90°，
又∵∠DAF=∠EAC，
∴∠AFD=∠AEC，
又∵∠EFC=∠AFD，
∴∠EFC=∠AEC，
∴CE=CF；
（2）作FG⊥AC于点G．
∵直角△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
又∵∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B．
∵AE平分∠BAC，
∴FG=DF，
又∵在直角△CFG中，sin∠ACD=sinB=
=FG FC
，3 5
∴DF：CF=FG：FC=3：5．
答案解析：（1）根据圆周角定理以及切线的性质，以及直角三角形的两锐角互余即可证得∠AFD=∠AEC，进而证得∠EFC=∠AEC，根据等角对等边即可证得；
（2）根据切线的性质证明∠ACD=∠B，作FG⊥AC于点G，则FG=DF，利用三角函数的定义即可求解．
考试点：切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．
知识点：本题考查了切线的性质以及圆周角定理，三角函数的性质，正确作辅助线，作出与DF相等的线段是关键．