已知抛物线C:y2=2Px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)设直线y=kx+b(k≠0)与抛物线C交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求证:a2=16(1−kb)k2.
问题描述:
已知抛物线C:y2=2Px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线y=kx+b(k≠0)与抛物线C交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求证:a2=
. 16(1−kb) k2
答
(Ⅰ)由抛物线定义,抛物线C:y2=2Px(p>0)上点P(4,y0)到焦点的距离等于它到准线x=−
的距离,得5=4+p 2
,p 2
∴p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x;
(Ⅱ)证明:由
,得ky2-4y+4b=0,
y2=4x y=kx+b
当△=16-16kb>0,即kb<1且k≠0 时,
y1+y2=
,y1y2=4 k
,4b k
由|y1-y2|=a,即(y1+y2)2−4y1y2=
−16 k2
=a2,16kb k
所以a2=
.16(1−kb) k2
答案解析:(Ⅰ)由抛物线的定义直接列式求出p,则抛物线C的方程可求;
(Ⅱ)联立直线和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后利用根与系数关系写出两交点纵坐标的和与积,代入|y1-y2|=a化简即可证明等式.
考试点:直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的简单性质.
知识点:本题考查抛物线的定义及轨迹方程的求法,关键是看清题中给出的条件,灵活运用韦达定理进行求解,是中档题.