已知两个命题r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0.如果对∀x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题,求实数m的取值范围.
问题描述:
已知两个命题r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0.如果对∀x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题,求实数m的取值范围.
答
∵sinx+cosx=2sin(x+π4)≥-2,∴当r(x)是真命题时,m<-2.又∵对∀x∈R,s(x)为真命题,即x2+mx+1>0恒成立,有△=m2-4<0,∴-2<m<2.∴当r(x)为真,s(x)为假时,m<-2,同时m≤-2或m≥2,即m≤-2,...
答案解析:若对∀x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题,则使两个命题成立的实数m的范围,不可能同时满足,也不可能同时不满足,使两个命题成立的实数m的范围,然后构造关于m的不等式,即可得到答案.
考试点:命题的真假判断与应用.
知识点:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,其中使两个命题成立的实数m的范围,是解答本题的关键.