已知正数k是4和9的比例中项，（1）求k的值；（2）求证：关于x的方程x2-kx-k=0必定有两个不等实数根；（3）求证：方程的两根必定是一正一负．
问题描述：
已知正数k是4和9的比例中项，
（1）求k的值；
（2）求证：关于x的方程x2-kx-k=0必定有两个不等实数根；
（3）求证：方程的两根必定是一正一负．
答
知识点：本题考查了比例中项的概念，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-
，x1•x2=
．
（1）∵正数k是4和9的比例中项，
∴k2=4×9=36，
∴k=6；
（2）证明：∵k=6，
∴关于x的方程为x2-6x-6=0，
∵b2-4ac=（-6）2-4×1×（-6）=60＞0，
∴关于x的方程x2-kx-k=0必定有两个不等实数根；
（3）证明：∵x1•x2=-k＜0，
∴方程的两根必定是一正一负．
答案解析：（1）根据比例中项的概念，得k2=4×9，则k可求出来．
（2）先计算判别式得到b2-4ac=60＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论．
（3）利用根与系数的关系：x1•x2=
，即可判定．c a
考试点：根的判别式；根与系数的关系；比例线段．
知识点：本题考查了比例中项的概念，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-
| b |
| a |
| c |
| a |