如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)已知CD=4cm,求AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.

问题描述:

如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.

(1)已知CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.

(1)∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴DE=CD=4cm,
又∵AC=BC,
∴∠B=∠BAC,
又∵∠C=90°,
∴∠B=∠BDE=45°,
∴BE=DE=4cm.
在等腰直角三角形BDE中,由勾股定理得,BD=4

2
cm,
∴AC=BC=CD+BD=4+4
2
(cm).
(2)∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴∠ADE=∠ADC,
∴AC=AE,
又∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
答案解析:(1)根据角平分线的性质可知CD=DE=4cm,由于∠C=90°,故∠B=∠BDE=45°,△BDE是等腰直角三角形,由勾股定理得可得BD,AC的值.
(2)由(1)可知:△ACD≌△AED,AC=AE,BE=DE=CD,故AB=AE+BE=AC+CD.
考试点:勾股定理;直角三角形全等的判定;角平分线的性质.
知识点:本题考查的是角平分线的性质,等腰直角三角形的性质,比较简单.