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如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．（1）当α=50°时，求β的度数．（2）猜想α与β之间的关系，并给与证明．

分类: 作业答案 • 2022-05-20 10:14:02
问题描述：

如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．
（1）当α=50°时，求β的度数．
（2）猜想α与β之间的关系，并给与证明．

答

（1）连接FC
∵BC为半圆O的直径
∴∠BFC=90°
∵A是弧BF上的中点
∴∠ACB=

1
2
∠BCF=
1
2
（90°-50°）=20°．
（2）α+2β=90°
∵A是弧BF上的中点
∴∠ACB=
1
2
∠BCF=
1
2
（90°-α）=β
即α+2β=90°．
答案解析：（1）可连接FC，那么∠BFC就是个直角，根据A是弧BF的中点，那么要求∠ACB的度数，实际就是求∠BCF的度数，在直角三角形BFC中，∠BCF+∠FBC=90°，也就是2∠ACB+∠FBC=90°，因此有了α即∠FBC的度数，就能求出β即∠ACB的度数．
（2）方法同（1）
考试点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．

知识点：本题主要考查了圆周角定理的应用，本题通过构建直角三角形来求度数是解题的关键．

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