已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?

问题描述:

已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?

设扇形的半径和弧长分别为r和l,
由题意可得2r+l=40,
∴扇形的面积S=

1
2
lr=
1
4
•l•2r
1
4
(
l+2r
2
)2
=100
当且仅当l=2r=20,即l=20,r=10时取等号,
此时圆心角为α=
l
r
=2,
∴当半径为10圆心角为2时,扇形的面积最大,最大值为100
答案解析:由题意设扇形的半径和弧长分别为r和l,可得2r+l=40,扇形的面积S=
1
2
lr=
1
4
•l•2r,由基本不等式可得.
考试点:扇形面积公式.
知识点:本题考查基本不等式,涉及扇形的面积公式,属基础题.