设P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的定点,A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两个动点,且直线PA与PB的倾斜角互补(1)求y1+y2y0的值(2)证明直线AB的斜率是非零常数.

问题描述:

设P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的定点,A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两个动点,且直线PA与PB的倾斜角互补
(1)求

y1+y2
y0
的值
(2)证明直线AB的斜率是非零常数.

(I)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为k PB由y12=2px1,y02=2px0相减得(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0)故 kPA=y1−y0x1−x0=2py1+y0(x1≠x0)同理可得 kPB=2py2+y0(x2≠x0)由PA,PB倾斜角互补知kPA=-kPB即2py1...
答案解析:(I)设出直线PA,PB的斜率,把A,P点代入抛物线的方程相减后,表示出两直线的斜率,利用其倾斜角互补推断出
kPA=-kPB,化简出

y1+y2
y0
即可.
(II)求得三点纵坐标的关系式,同样把把A,B点代入抛物线的方程相减后,表示出AB的斜率,将y1+y2=-2y0代入求得结果为非零常数.
考试点:直线与圆锥曲线的综合问题;直线的斜率.
知识点:本小题主要考查直线的斜率、直线与圆锥曲线的综合问题等基础,考查运算求解能力,考查数形结合思想与转化思想.属于基础题.