已知n=(2cosx,3sinx),m=(cosx,2cosx),设f(x)=n•m+a.(1)若x∈[0,π2]且a=l时,求f(x)的最大值和最小值,以及取得最大值和最小值时x的值;(2)若x∈[0,π]且a=-1时,方程f(x)=b有两个不相等的实数根x1、x2,求b的取值范围及x1+x2的值.

问题描述:

已知

n
=(2cosx,
3
sinx),
m
=(cosx,2cosx),设f(x)=
n
m
+a

(1)若x∈[0,
π
2
]
且a=l时,求f(x)的最大值和最小值,以及取得最大值和最小值时x的值;
(2)若x∈[0,π]且a=-1时,方程f(x)=b有两个不相等的实数根x1、x2,求b的取值范围及x1+x2的值.

f(x)=

n
m
+a=2cos2x+2
3
sinxcosx+a
=cos2x+1+
3
sin2x+a=2sin(2x+
π
6
)+a
+1
(1)a=1,f(x)=2sin(2x+
π
6
)+2

0≤x≤
π
2
π
6
≤2x+
π
6
≤ 
6

2x+
π
6
π
2
x=
π
6
,f(x)max=4;x=
π
2
,f(x)min=1
. 
(2)a=−1,f(x)=2sin(2x+
π
6
)

∵0≤x≤π,∴
π
6
≤2x+
π
6
13π
6

∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1
,∴-1≤f(x)≤2
当f(x)=b有两不等的根,结合函数的图象可得1<b<2或-2<b<1
b∈(-2,1)∪(1,2);x1+x2
π
3
3

答案解析:利用向量的数量积的坐标表示及和差角公式化简已知函数可得f(x)=2sin(2x+ 
π
6
)+a+1

(1)代入a=1,可得f(x)=2sin(2x+
π
6
) +2
,由x的范围可得2x+
π
6
∈[
π
6
6
]
,从而找出最值及取最值的条件
(2)代入a=-1,可得f(x)=2sin(2x+
π
6
)
,结合该函数在区间[o,π]的图象把方程f(x)=b的根转化为函数图象的交点问题
考试点:三角函数的最值;正弦函数的图象.
知识点:本题以向量的数量积为切入点,实际考查三角函数y=Asin(wx+∅)(A>0,w>0)的性质,也体现了数形结合思想在解题中运用