已知n=(2cosx,3sinx),m=(cosx,2cosx),设f(x)=n•m+a.(1)若x∈[0,π2]且a=l时,求f(x)的最大值和最小值,以及取得最大值和最小值时x的值;(2)若x∈[0,π]且a=-1时,方程f(x)=b有两个不相等的实数根x1、x2,求b的取值范围及x1+x2的值.
已知
=(2cosx,n
sinx),
3
=(cosx,2cosx),设f(x)=m
•n
+a.m
(1)若x∈[0,
]且a=l时,求f(x)的最大值和最小值,以及取得最大值和最小值时x的值;π 2
(2)若x∈[0,π]且a=-1时,方程f(x)=b有两个不相等的实数根x1、x2,求b的取值范围及x1+x2的值.
f(x)=
•n
+a=2cos2x+2m
sinxcosx+a
3
=cos2x+1+
sin2x+a=2sin(2x+
3
)+a+1π 6
(1)a=1,f(x)=2sin(2x+
)+2π 6
∵0≤x≤
∴π 2
≤2x+π 6
≤ π 6
7π 6
当2x+
=π 6
即x=π 2
,f(x)max=4;x=π 6
,f(x)min=1. π 2
(2)a=−1,f(x)=2sin(2x+
)π 6
∵0≤x≤π,∴
≤2x+π 6
≤π 6
13π 6
∴-
≤sin(2x+1 2
)≤1,∴-1≤f(x)≤2π 6
当f(x)=b有两不等的根,结合函数的图象可得1<b<2或-2<b<1
b∈(-2,1)∪(1,2);x1+x2=
,π 3
4π 3
答案解析:利用向量的数量积的坐标表示及和差角公式化简已知函数可得f(x)=2sin(2x+
)+a+1π 6
(1)代入a=1,可得f(x)=2sin(2x+
) +2,由x的范围可得2x+π 6
∈[π 6
,π 6
],从而找出最值及取最值的条件7π 6
(2)代入a=-1,可得f(x)=2sin(2x+
),结合该函数在区间[o,π]的图象把方程f(x)=b的根转化为函数图象的交点问题π 6
考试点:三角函数的最值;正弦函数的图象.
知识点:本题以向量的数量积为切入点,实际考查三角函数y=Asin(wx+∅)(A>0,w>0)的性质,也体现了数形结合思想在解题中运用