(2011•琼海一模)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是(  )A. (1,2)B. (0,0)C. (12,1)D. (1,4)

问题描述:

(2011•琼海一模)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是(  )
A. (1,2)
B. (0,0)
C. (

1
2
,1)
D. (1,4)

y'=8x,由8x=4得x=

1
2

故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是(
1
2
,1)

该点到直线y=4x-5的距离是最短.
故选C.
答案解析:根据题意,直线y=4x-5必然与抛物线y=4x2相离,抛物线上的点到直线的最短距离就是与直线y=4x-5平行的抛物线的切线的切点.
考试点:点到直线的距离公式;抛物线的简单性质.
知识点:主要考查了导数及其应用,本题以数形结合思想为指导命制,通过形的分析把问题转化为求抛物线的斜率为4的切线的切点坐标.本题也可以直接根据点到直线的距离公式求解,即抛物线上的点到直线y=4x-5的距离是d=
|4x−y−5|
17
|4x−4x2−5|
17
4(x−
1
2
)
2
+4
17
,显然这个函数当x=
1
2
时取得最小值,此时y=1.