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已知数列{an}共有2k项（整数k≥2），数列{an}的前n项的和为Sn，满足a1=2，an+1=（a-1）Sn+2（n=1，2，…，2k-1），其中常数a＞1，求证{an}为等比数列．

分类: 作业答案 • 2022-05-12 11:17:05
问题描述：

已知数列{an}共有2k项（整数k≥2），数列{an}的前n项的和为Sn，满足a1=2，an+1=（a-1）Sn+2（n=1，2，…，2k-1），其中常数a＞1，求证{an}为等比数列．

答

证明：∵an+1=（a-1）Sn+2（n=1，2，…，2k-1），
∴当n≥2时，an=（a-1）Sn-1+2，
两式相减可得：an+1-an=（a-1）an，化为an+1=a•an．
又a2=2（a-1）+2=2a=2a1．
∵a1=2，a＞1．
∴{an}为等比数列．

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