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已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0，试判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．

分类: 作业答案 • 2022-05-10 16:30:08
问题描述：

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0，试判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．

答

设0＜x1＜x2，则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1）
又∵x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＞0，∴f（x1）+f（x2-x1）＞f（x1），
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

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