求微分方程y″-3y′+2y=xex的通解．
问题描述：
求微分方程y″-3y′+2y=xex的通解．
答
微分方程y''-3y'+2y=xex对应的齐次微分方程为y''-3y'+2y=0
特征方程为t2-3t+2=0
解得t1=1，t2=2
故齐次微分方程对应的通解y＝C1ex+C2e2x
因此，微分方程y''-3y'+2y=xex对应的非齐次微分方程的特解可设为y*=x（ax+b）ex=（ax2+bx）ex
y*'=[ax2+（2a+b）x+b]ex
y*''=[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]ex
将y*，y*'，y*''代入微分方程y''-3y'+2y=xex消去ex即可得到：
[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]-3[ax2+（2a+b）x+b]+2（ax2+bx）=x
-2ax+2a-b=x
−2a＝1 2a+b＝0
a＝−
1 2 b＝1
所以，非齐次微分方程的特解为y*＝(−
x2+x)ex1 2
由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
所以，微分方程y''-3y'+2y=xex的通解为y+y*＝(−
x2+x+C1)ex+C2e2x．1 2