已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4，侧棱长为8，E，F分别是PB，PC上的点，求△AEF的周长最小值．
问题描述：
已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4，侧棱长为8，E，F分别是PB，PC上的点，求△AEF的周长最小值．
答
沿三棱锥P-ABC的侧棱PA剪开后再展开，如图，
原图中△AEF的周长最小，也就是展开图中的AA′，
在△PAB中，因为PA=PB=8，AB=4，
设∠APB=α，则cosα＝
＝PA2+PB2−AB2
2PA•PB
=
82+82−42
2×8×8
．7 8
∠APA′=3α，
由cos3α=4cos3α-3cosα=4×(
)3−3×7 8
=7 8
．7 128
在△APA′中，由余弦定理得：
AA′2=PA2+PA′2-2PA•PA′cos3α
=82+82−2×8×8×
7 128
=121．
所以，AA′=11．
所以，△AEF的周长最小值为11．