如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60度． （1）求∠AOC的度数； （2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长； （3）如图2，一动点M从A点出发，在
如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60度．
（1）求∠AOC的度数；
（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；
（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长．
（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等边三角形∴∠AOC=60°．
（2）∵CP与⊙O相切，OC是半径．
∴CP⊥OC，又∵∠OAC=∠AOC=60°，
∴∠P=90°-∠AOC=30°，
∴在Rt△POC中，CO=
PO=4，1 2
则PO=2CO=8；
（3）如图，（每找出一点并求出弧长得1分）
①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．
易得S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°
∴
＝AM1
×60°＝4π 180°
π4 3
∴当点M运动到M1时，S△MAO=S△CAO，
此时点M经过的弧长为
π．4 3
②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，易得S△M2AO=S△CAO．
∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°
∴
＝AM2
×2＝4π 3
π或8 3
＝AM2
×120°＝4π 180°
π8 3
∴当点M运动到M2时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为
π．8 3
③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，易得S△M3AO=S△CAO
∴∠BOM3=60°，
∴
M3＝AM2
×240°＝4π 180°
π或16 3
M3＝AM2
×2＝8π 3
π16 3
∴当点M运动到M3时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为
π．16 3
④当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO=S△CAO，
此时点M经过的弧长为
×300°＝4π 180°
π或20 3
π+16 3
π＝4 3
π．20 3