设函数f(x)＝cos2x+23sinxcosx(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T．（Ⅰ）求M、T；（Ⅱ）若有10个互不相等的正数xi满足f（xi）=M，且xi＜10π（i=1，2，…，10），求x1+x2+…+x10的值．
问题描述：
设函数f(x)＝cos2x+2
sinxcosx(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T．
3
（Ⅰ）求M、T；
（Ⅱ）若有10个互不相等的正数xi满足f（xi）=M，且xi＜10π（i=1，2，…，10），求x1+x2+…+x10的值．
答
知识点：本题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用，及由三角函数值求解角，属于三角函数的综合试题．
∵f(x)＝
sin2x+cos2x＝2sin(2x+
3
)（4分）π 6
（Ⅰ）∵M=2
∴T=
＝π（6分）2π 2
（Ⅱ）∵f（xi）=2，即2sin(2xi+
)＝2π 6
∴2xi+
＝2kπ+π 6
，π 2
∴xi＝kπ+
(k∈Z)（9分）π 6
又0＜xi＜10π，∴k=0，1，…，9（11分）
∴x1+x2+…+x10＝(1+2+…+9)π+10×
=π 6
π（12分）140 3
答案解析：利用辅助角公式对函数化简可得，f(x)＝
sin2x+cos2x＝2sin(2x+
3
)π 6
（Ⅰ）由M=2，利用周期公式可求T=
＝π2π 2
（Ⅱ）由f（xi）=2，可得2sin(2xi+
)＝2，从而可得2xi+π 6
＝2kπ+π 6
，结合0＜xi＜10π可求π 2
考试点：三角函数的最值．
知识点：本题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用，及由三角函数值求解角，属于三角函数的综合试题．