已知函数f(x)的定义域为R,且不恒为0,对任意的x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),求证:f(x)为奇函数

问题描述:

已知函数f(x)的定义域为R,且不恒为0,对任意的x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),求证:f(x)为奇函数

令x=y=0
则有f(0)=2f(0)可得f(0)=0
再令x=-y(x为任意实数)
则有f(x+y)=f(0)=f(x)+f(y)=0
可得f(x)=—f(y)=-f(-x)
故可以得出f(x)为奇函数