已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6),设抛物线顶点为A,与x轴交于B、C两点,问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形?如果存在求m;若不存在说明理由.

问题描述:

已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6),设抛物线顶点为A,与x轴交于B、C两点,问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形?如果存在求m;若不存在说明理由.

若△ABC是等腰直角三角形,则∠BAC=90°,
设B、C两点的坐标分别为(x1,0)、(x2,0),x1<x2,则x1、x2是方程x2-(m2+8)x+2(m2+6)=0的两个根,
∴x1+x2=m2+8,x1•x2=2(m2+6),
∴x1>0,x2>0,
∴BC=x2-x1
∵(x1-x22=(x1+x22-4x1x2=(m2+8)2-8(m2+6),
=(m2+4)2
∴BC=m2+4,
∵由抛物线的顶点坐标可知,A点的纵坐标为,

8(m2+6)−(m2+8)2
4
=2(m2+6)-
(m2+8)2
4

∴AD=
(m2+8)2
4
-2(m2+6),
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴BC=2AD,
∴m2+4=
(m2+8)2
2
-4(m2+6),
解得m2=-2<0,m2=-4<0,都无意义.
故答案为:不存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形.