初值求解微分方程 y''+y'-2y=cosx-3sinx 其中y(0)=1,y'(0)=2
问题描述：
初值求解微分方程 y''+y'-2y=cosx-3sinx 其中y(0)=1,y'(0)=2
答
先求对应齐次方程的通
特征方程：r²+r-2=0解得：r=1或-2
所以方程的通解为：y=C·exp(x)+D·exp(-2x)………………【为避免显示混乱,用C、D为常数】
而f(x)=cosx-3sinx对应的特征根为±i,所以对应的特解形式为：
y*=Acosx+Bsinx
将y*代入原方程得到：
-Acosx-Bsinx-Asinx+Bcosx-2(Acosx+Bsinx)=cosx-3sinx
即(-3A+B)cosx+(-A-3B)sinx=cosx-3sinx
同类项系数相等,即得到方程组：
-3A+B=1
-A-3B=-3
解得：A=0 B=1
所以方程的一个特解为：y*=sinx
方程的通解为：y=sinx+C·exp(x)+D·exp(-2x)
把边界条件y(0)=1, y'(0)=2代入得到：
0+C+D=1
1+C-2D=2
解得：C=1 D=0
所以有题设方程的y=sinx+exp(x)