已知双曲线C的方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),离心率e=52,顶点到渐近线的距离为255.求双曲线C的方程.

问题描述:

已知双曲线C的方程为

y2
a2
x2
b2
=1(a>0,b>0),离心率e=
5
2
,顶点到渐近线的距离为
2
5
5
.求双曲线C的方程.

∵双曲线C:

y2
a2
-
x2
b2
=1(a>0,b>0)的离心率e=
c
a
=
5
2

∴e2=
a2+b2
a2
=
5
4

∴a2=4b2;①
设顶点P(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为d
则d=
ab
c
=
2
5
5

a2b2
a2+b2
=
4
5
,②
由①②联立得:a2=4,b2=1.
∴双曲线C的方程为:
y2
4
-x2=1.
答案解析:依题意可得到e2=
a2+b2
a2
=
5
4
,顶点到渐近线的距离d=
ab
c
=
2
5
5
,解方程组即可求得答案.
考试点:双曲线的简单性质;双曲线的标准方程.
知识点:本题考查双曲线的简单性质与标准方程,考查方程思想与运算能力,属于中档题.