已知双曲线C的方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),离心率e=52,顶点到渐近线的距离为255.求双曲线C的方程.
问题描述:
已知双曲线C的方程为
−y2 a2
=1(a>0,b>0),离心率e=x2 b2
,顶点到渐近线的距离为
5
2
.求双曲线C的方程. 2
5
5
答
∵双曲线C:
-y2 a2
=1(a>0,b>0)的离心率e=x2 b2
=c a
,
5
2
∴e2=
=
a2+b2
a2
,5 4
∴a2=4b2;①
设顶点P(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为d
则d=
=ab c
,2
5
5
∴
=a2b2
a2+b2
,②4 5
由①②联立得:a2=4,b2=1.
∴双曲线C的方程为:
-x2=1.y2 4
答案解析:依题意可得到e2=
=
a2+b2
a2
,顶点到渐近线的距离d=5 4
=ab c
,解方程组即可求得答案.2
5
5
考试点:双曲线的简单性质;双曲线的标准方程.
知识点:本题考查双曲线的简单性质与标准方程,考查方程思想与运算能力,属于中档题.