在Rt三角形ABC中∠ACB＝90,∠BAC＝30,分别以AB．AC为边在三角形ABC外侧作等边三角形ABE和等边三角形ACD,DE交AB于F,求证EF＝FD
问题描述：
在Rt三角形ABC中∠ACB＝90,∠BAC＝30,分别以AB．AC为边在三角形ABC外侧作等边三角形ABE和等边三角形ACD,DE交AB于F,求证EF＝FD
答
取AB的中点G,分别连接DG,CG,EG
∵G是RT△ABC斜边AB的中点,
∴AG=CG=BG
∵∠ABC=180-90-30=60
∴△BGC是等边三角形
∴∠BGC=60
∵△ACD是等边三角形
∴AD=CD
在△ADG和△CDG中,
∵AD=CD,AG=CG=DG=DG
∴△ADG≌△CDG(SSS)
∴∠AGD=∠CGD=(180-∠BGC)/2=(180-60)/2=60
又∵EAB=60(等边三角形)
∴AE‖DG
∵GE是等边三角形AB边的中线
∴GE也是等边三角形AB边的高线
∴∠EGA=90
∵∠BAC=30,∠DAC=60(等边三角形)
∴∠DAG=60+30=90
∴AD‖EG
∴四边形ADGE是平行四边形
∴对角线AG,ED相互平分
∴DF=EF