高中数学关于三角代换求值域的问题
高中数学关于三角代换求值域的问题
题目是这样的,函数f(x)=2√x + √(4-x)的值域为?
这个定义域是[0,4],然后令x=4(sinα)^2,然后为什么α属于[0,π/2] 像这样的三角换元不是应该sinα是α属于[-π/2,π/2],cosα是α属于[0,
以上是第一个疑问,还有第二个：
他解到f(α)=2√5（α+m）,然后“当α=0,f(α）=2,当α+m=π/2时,[f(α)]max=2√5,所以值域为[2,2√5]”,这里面为什么先让α=0,再让α+m=π/2 有什么理由?那个π/2不是α的值吗?为什么要令α+m=它?
这个问题很严重,我上学的时候老师根本没给我们讲过三角代换,太差劲了,今年复读,一定得弄懂!好的我一定加分!
第一个疑问：α范围的确定原则是使x范围不扩大也不缩小,
如f(x)=√x + √(1-x)中x范围是[0,1],若令x=(sinα)^2,α属于[0,π/2] 即可,
但f(x)=x + √(1-x^2)中x范围是[-1,1],若令x=sinα,α属于[-π/2,π/2] 即可；
第二个疑问：f(α)=2√5（α+m）在[0,π/2]先增后减,
最大值在α+m=π/2时取到,
最小值应在端点位置取到,
所以应求出α=0及α=π/2时的值,再比较哪个最小.他不是α=π/2，是α+m=π/2你的追问什么意思，我也没有说α=π/2时值最大呀！α∈[0,π/2] 时α+m∈[m,π/2+m]，所以α+m∈[m,π/2]时f(α)=2√5（α+m）递增，α+m∈[π/2,π/2+m]时f(α)=2√5（α+m）递减，所以最大值在α+m=π/2时取到，最小值在α=0或α=π/2时取到，因为f(0)=2，f(π/2)=4，所以最小值位.