设f（2x）=x2+bx+c（b，c∈R）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）当x∈(0，1/4]∪[4，+∞)，恒有f（x）≥0，且f（x）在区间（4，8]上的最大值为1，求b的取值范围．
问题描述：
设f（2x）=x2+bx+c（b，c∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈(0，
]∪[4，+∞)，恒有f（x）≥0，且f（x）在区间（4，8]上的最大值为1，求b的取值范围． 1 4
答
（1）∵f（2x）=x2+bx+c，设2x=t（t>0），则x=log2t，
∴f(t)=(log2t)2+b(log2t)+c，
∴f(x)=(log2x)2+b(log2x)+c(x>0)；
（2）当x∈(0，
]∪[4，+∞)，log2x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），1 4
当x∈（4，8]，log2x∈（2，3]，已知条件转化为：
f（m）=m2+bm+c，当|m|≥2时，f（m）≥0，且f（m）在区间（2，3]上的最大值为1．
首先：函数图象为开口向上的抛物线，且f（m）在区间（2，3]上的最大值为1．
故有f（2）≤f（3）=1，从而b≥-5且c=-3b-8．
其次：当|m|≥2时，f（m）≥0，有两种情形：
Ⅰ）若f（m）=0有实根，则△=b2-4c≥0，
且在区间[-2，2]有
，即
f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤
≤2b 2
，消去c，解出
4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4
；
b≤-
4 5 b≤-4 -4≤b≤4
即b=-4，此时c=4，且△=0，满足题意．
Ⅱ）若f（m）=0无实根，则△=b2-4c<0，将c=-3b-8代入解得-8<b<-4．
综上Ⅰ）Ⅱ）得：b的取值范围是{b|-5≤b≤-4}．