已知函数f(x)＝a3x3−a+12x2+x+b，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性．
问题描述：
已知函数f(x)＝
x3−a 3
x2+x+b，其中a，b∈R．a+1 2
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性．
答
（Ⅰ）f'（x）=ax2-（a+1）x+1，
由导数的几何意义得f'（2）=5，于是a=3．
由切点P（2，f（2））在直线y=5x-4上可知2+b=6，解得b=4．
所以函数f（x）的解析式为f（x）=x3-2x2+x+4．
（Ⅱ）f′(x)＝ax2−(a+1)x+1＝a(x−
)(x−1)，1 a
当0＜a＜1时，
＞1，函数f（x）在区间（-∞，1）及(1 a
，+∞)上为增函数；1 a
在区间(1，
)上为减函数；1 a
当a=1时，
＝1，函数f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数；1 a
当a＞1时，
＜1，函数f（x）在区间(− ∞，1 a
)及（1，+∞）上为增函数；1 a
在区间(
，1)上为减函数．1 a
答案解析：（1）先求函数f（x）的导数，令f'（2）=5求出a的值，切点P（2，f（2））在函数f（x）和直线y=5x-4上，可求出b的值，最后得到答案．
（2）对f'（x）的解析式因式分解后讨论可得答案．
考试点：利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．