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设函数f（x）=x2+|2x-a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞2，求函数f（x）的最小值．

分类: 作业答案 • 2022-04-26 08:47:48

问题描述：

设函数f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a为实数）．
（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）设a＞2，求函数f（x）的最小值．

答

（1）由已知f（-x）=f（x），即|2x-a|=|2x+a|，解得a=0
（2）f(x)＝

x2+2x−a，x≥

1

2

a

x2−2x+a，x＜

1

2

a

当x≥

1

2

a时，f（x）=x²+2x-a=（x+1）²-（a+1）
由a＞2，x≥

1

2

a，得x＞1，从而x＞-1
故f（x）在x≥

1

2

a时单调递增，f（x）的最小值为f(

a

2

)＝

a2

4

当x＜

1

2

a时，f（x）=x²-2x+a=（x-1）²+（a-1）
故当1＜x＜

a

2

时，f（x）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减
则f（x）的最小值为f（1）=a-1
由

a2

4

−(a−1)＝

(a−2)2

4

＞0，知f（x）的最小值为a-1．