已知微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) 有三个线性无关的解y1=x,y2=e^x,y=e^2x,试求该微分方程,并求其通解
问题描述：
已知微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) 有三个线性无关的解y1=x,y2=e^x,y=e^2x,试求该微分方程,并求其通解
答
y=x
p+xq=f
y=e^x
1+p+q=fe^(-x) 1)
y=e^2x
4+2p+q=fe^(-2x) 2)
2)-1)
p=f(e^(-2x)-e^(-x))-3
1)*2-2)
q=f(2e^(-x)-e^(-2x)+2
代入1)
f(e^(-2x)-e^(-x)-3 +f(2xe^(-x)-2xe^(-2x))+2x=f
f(e^(-2x)-2xe^(-2x)-e^(-x)+2xe^(-x)-1)=3-2x
f=(3-2x)/[2xe^(-x)-e^(-x)+e^(-2x)-2xe^(-2x) -1]
p=(3-2x)(1-e^x)/(2xe^x-e^x+1-2x-e^2x]-3
q=(3-2x)(2e^x-1)/[2xe^x-e^x+1-2x-e^2x] +2
通解
y=Cx+C1e^x+C2e^2x