已知直线l1为曲线y=x2在点(1,1)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2. (1)求直线l1与l2的方程; (2)求直线l1,l2与x轴所围成的三角形的面积.

问题描述:

已知直线l1为曲线y=x2在点(1,1)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2
(1)求直线l1与l2的方程;
(2)求直线l1,l2与x轴所围成的三角形的面积.

(1)f′(x)=2x,∴f′(1)=2
∴直线l1的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1
设l2与曲线y=x2相切的切点为(x1,y1),∵l1⊥l2
∴f′(x1)=2x1=-

1
2
,∴x1=-
1
4
,∴y1=x12=
1
16

∴直线l2的方程为y-
1
16
=-
1
2
(x+
1
4
),即y=-
1
2
x-
1
16

(2)由
y=2x−1
y=−
1
2
x−
1
16
得直线l1与l2的交点坐标为(
3
8
,-
1
4
),
又直线l1,l2与x轴的交点分别为(
1
2
,0),(-
1
8
,0)
∴所求三角形的面积S=
1
2
|
1
2
-(-
1
8
)|×|-
1
4
|=
5
64