高等数学证明不等式设常数a>In2-1,证明：当x>0时,e^x>x^2-2ax+1证明：设f(x)=e^x-(x^2-2ax+1),则f'(x)=e^x-2x+2a,f''(x)=e^x-2.令f''(x)=0,得x=In2.当x0.所以f'(x)在x=In2处取到最小值,因此f'（x）>=f'(In2)=2-2In2+2a>0.于是f(x)为单调增加函数.故当x>0时,有f(x)>f(0)=0,即e^x>x^2-2ax+1这到题我不明白为什么当x0.x

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• 这是利用函数的单调行证明不等式证明：当x≠0时e^x＞1+x.这是书上的例题,书上是这样解的证 设f(x)=e^x-(1+x),则f(0)=0,且f'(x)=e^x-1由此可见,当x＞0时f'(x)＞0,从而f(x)在区间[0,＋∞)上单调增加.当x＜0时f'(x)＜0,从而f(x)在区间（－∞,0]上单调减少所以,x≠0时都有f(x)＞f(0)=0,即f(x)=e^x-（1+x)＞0 (x≠0)我还是没看懂为什么 x≠0时f(x)＞f(0)=0前面也就是说明了f'(x)＞0和＜0的单调区间这并不能说明f(x)＞0
• 设函数f（x）=ex-e-x （Ⅰ）证明：f（x）的导数f'（x）≥2； （Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax,求a的取（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=ex+e-x．由于ex+e-x≥2ex•e-x =2,故f'（x）≥2．（当且仅当x=0时,等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax,则g'（x）=f'（x）-a=ex+e-x-a,（ⅰ）若a≤2,当x＞0时,g'（x）=ex+e-x-a＞2-a≥0,故g（x）在（0,+∞）上为增函数,所以,x≥0时,g（x）≥g（0）,即f（x）≥ax．（ⅱ）若a＞2,方程g'（x）=0的正根为x1=lna+a2-4 2 ,此时,若x∈（0,x1）,则g'（x）＜0,故g（x）在该区间为减函数．所以,x∈（0,x1）时,g（x）＜g（0）=0,即f（x）＜ax,与题设f（x）≥ax相矛盾．综上,满足条件的a的取值范围是（-∞,2]．但是不明白第二问为什么对a分类讨论,第二问的思路是什么?
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