如图,点A,B为直线y=x上的两点,过A,B 两点分别作y轴的平行线交双曲线y=kx(x>0)于C,D两点.若BD=3AC,9OC2-OD2=6,求k的值.

问题描述:

如图,点A,B为直线y=x上的两点,过A,B 两点分别作y轴的平行线交双曲线y=

k
x

(x>0)于C,D两点.若BD=3AC,9OC2-OD2=6,求k的值.

设A,B两点的坐标为(a,a),(b,b),
则点C的坐标为(a,

k
a
),点D的坐标为(b,
k
b
),
∴AC=a-
k
a
,BD=b-
k
b

∵BD=3AC,
∴b-
k
b
=3(a-
k
a
),
∴9OC2-OD2=9[a2+(
k
a
2]-[b2+(
k
b
2]
=9[(a-
k
a
2+2k]-[(b-
k
b
2+2k]
=9(a-
k
a
2+18k-9(a-
k
a
2-2k
=16k
=6,
解得k=
3
8

答案解析:根据A,B两点在直线y=x上,分别设A,B两点的坐标为(a,a),(b,b),得到点C的坐标为(a,
k
a
),点D的坐标为(b,
k
b
),线段AC=a-
k
a
,线段BD=b-
k
b
,根据BD=3AC,有b-
k
b
=3(a-
k
a
),然后利用9OC2-OD2=6即可求得K的值.
考试点:反比例函数综合题.

知识点:本题考查的是反比例函数综合题,根据直线与反比例函数的解析式,设出点A,B的坐标后可以得到点C,D的坐标,运用勾股定理进行计算求出代数式的值.