已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2−abx+12(a+b)＝0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．
问题描述：
已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2−abx+
(a+b)＝0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明． 1 2
答
关于x的方程x2−abx+12(a+b)＝0有两个整数解．不妨设a≤b，且方程的两个整数根为x1，x2（x1≤x2），而a，b都是正整数，∴x1+x2=ab＞0，x1x2=12（a+b）＞0，∴如果原方程存在两整数根，则两根必为正整数．当a，b 中至...
答案解析：不妨设a≤b，且方程的两个整数根为x1，x2（x1≤x2），而a，b都是正整数，根据根与系数的关系得到x1+x2=ab＞0，x1x2=
（a+b）＞0，则如果原方程存在两整数根，则两根必为正整数．当a，b 中至少有一个等于1时，a+b≥ab；不妨设a=1，此时有1 2
（a+b）=1 2
（1+b）≤b=ab （当且仅当b=1时等号成立），其余情况下都有1 2
（a+b）＜a+b≤ab；则有（x1-1）（x2-1）≤1，得到x1=1，x2=1 2
（a+b），则（a-1）（b-1）=3-ab，根据整数的性质得到a=1，b=3，或a=3，b=1．即得到x2=2．1 2
考试点：一元二次方程的整数根与有理根．
知识点：本题考查了求一元二次方程的整数根的方法：利用根与系数的关系消去未知系数，得到两整数根的关系，然后利用整数的性质求出两整数根．