为什么不共线的3个向量为基底就能代表所有向量
问题描述：
为什么不共线的3个向量为基底就能代表所有向量
答
首先,是3个不共面的向量才可以作为3维空间的一组基底表示3维空间内所有向量
由于3个向量不共面,所以没有2个向量共线.
1.任取其中两个（假设为A,B）,则向量A与向量B构成一平面,在此平面内的所有向量均可表示为xA+yB的形式,其中x,y为待定系数（此性质可由向量的三角法则简单的构造证明）.
2.假设基底中另一向量为向量C,任取3维空间中一向量M,将这两个向量分别向AB平面作投影,得到AB平面内的向量c,m与垂直于平面AB的向量c',m'.由1中知,c=x1A+y1B,m=x2A+y2B.其中x1,x2,y1,y2为系数.由于c'与m‘分别垂直与平面AB,故此两向量平行,即m'=zc',其中z为系数.
3.由2,向量M=m+m'=x2A+y2B+zc'=x2A+y2B+z(C-c)=(x2-x1)A+(y2-y1)B+zC=xA+yB+zC,其中x=x2-x1,y=y2-y1,z均为参数.
由此证明3维空间内任意向量均可由此三不共面向量表示,还可证明此表示唯一（即系数x,y,z唯一）,此处省略.