已知a,b,c满足a+b+c=0,a²+b²+c²=4,则a⁴+b⁴+c⁴的值是

答：
a，b，c满足a+b+c=0，a²+b²+c²=4
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=0
4+2ab+2ac+2bc=0
ab+ac+bc=-2
a^4+b^4+c^2
=(a^2+b^2+c^2)^2-2(ab)^2-2(ac)^2-2(bc)^2
=4^2-2*[(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2]
=16-2*[(ab+ac+bc)^2-2abac-2abbc-2acbc]
=16-2*[(-2)^2-2abc(a+b+c)]
=16-2*(4-0)
=16-8
=8

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0 => ab+bc+ca=-2
(ab+bc+ca)^2 = (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 + 2abc(a+b+c) = (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 =4
(a²+b²+c²)^2 = a⁴+b⁴+c⁴+2((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2) = a⁴+b⁴+c⁴+8 = 16
所以a⁴+b⁴+c⁴=8

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=0
∵a²+b²+c²=4
所以ab+bc+ca=-2
a²b²+b²c²+c²a²+2abc(a+b+c)=(ab+bc+ca)²=4
∵a+b+c=0
∴a²b²+b²c²+c²a²=-4
a^4+b^4+c^4+2(a²b²+b²c²+c²a²)=(a²+b²+c²)²=16
∴a^4+b^4+c^4=16-2*4=8