求数列a1=1 an+1=(2an)/(2+an) 求通项公式 并用数学归纳法证明

问题描述:

求数列
a1=1 an+1=(2an)/(2+an) 求通项公式 并用数学归纳法证明

an=2/(n+1)
证明:当n=1时成立
假设当n=k时,ak=2/k+1
那么ak+1=【2*2/(k+1)】/【2+2/(k+1)】=2/(k+1)+1
所以假设成立

an+1=2an/(2+an)
1/an+1=(2+an)/2an=1/an+1/2
1/an+1-1/an=1/2
1/an是初值为1,差是1/2的等差数列
所以,1/an=(1+n)/2
an=2/(1+n)