己知{an}为等差数列,a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求:(1)原数列的第12项是新数列的第几项?(2)新数列的第29项是原数列的第几项?

问题描述:

己知{an}为等差数列,a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求:
(1)原数列的第12项是新数列的第几项?
(2)新数列的第29项是原数列的第几项?

(1){an}为等差数列,a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,
使它和原数列的数构成一个新的等差数列,不妨记为{bn}
则等差数列{bn}是以2为首项,3为第五项的数列,设{an}的公差为d,
设{bn}公差为d′,则2+d=3,2+4d′=3,解得d=1,d′=

1
4

故原等差数列{an}的通项为:an=2+1×(n-1)=n+1
新等差数列{bn}的通项为:bn=2+
1
4
(n−1)=
n+7
4

故原数列的第12项为a12=13,令bn=13,解得n=45,
故原数列的第12项是新数列的第45项.
(2)由(1)知新数列的第29项b29
29+7
4
=9

令an=9解得n=8,故新数列的第29项是原数列的第8项.
答案解析:(1)由题意可求出两数列的通项公式,可求得原数列的第12项即可知道是新数列的第几项;(2)同样,只要由通项公式求出新数列的第29项也可求得是原数列的第几项.
考试点:等差数列的性质.
知识点:本题为等差数列的考查,熟练运用等差数列的通项公式是解决问题的关键,属中档题.